Родившийся в Абхазии, он отметил, что, хоть по крови он грузин, Россия дала ему многое — образование, русскую жену, друзей и работу. Его дети также родились в России. Квеквескири подчеркнул, что не собирается отрицать свою привязанность к России, так как он грузин, который ценит и любит Россию и русских людей. Он отметил, что не верит в плохие нации, а лишь в плохие люди. С момента перехода в «Факел» в июле 2022 года, Квеквескири провел 15 матчей в различных турнирах, не отличившись результативными действиями. Футболист также выступал за молодежные сборные Грузии, где сыграл шесть матчей.